Déterminer toutes les suites \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) telles que : $$u_0=1,u_1=2,u_2=0\quad\text{ et }\quad\forall n\in{\Bbb N}, u_{n+3}+u_{n+2}+u_{n+1}+u_n=0$$
Poser une suite de matrices qui correspond à l'énoncé On pose $$v_n=\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad v_0=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\end{pmatrix}$$ on a : $$v_{n+1}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\\ u_{n+3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\\ -u_n-u_{n+1}-u_{n+2}\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ -1&-1&-1\end{pmatrix}}_M\underbrace{\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}}_{v_n}$$
Calcul du polynôme caractéristique On a \(v_n=Mv_{n-1}=M^2v_{n-2}=\ldots=M^nv_0\)
On doit calculer \(M^n\)
Polynôme caractéristique : $$\begin{align}\begin{vmatrix}-\lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\ -1&-1&-1-\lambda\end{vmatrix}&=-\lambda\begin{vmatrix} -\lambda&1\\ -1&-1-\lambda\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&0\\ -\lambda&1\end{vmatrix}\\ &=-\lambda(\lambda^2+\lambda+1)-1\\ &=-\lambda^3-\lambda^2-\lambda-1\\ &=-(\lambda^3+\lambda^2+\lambda+1)\\ &=-(\lambda+1)(\lambda^2+1)\\ &=-(\lambda+1)(\lambda+i)(\lambda-i)\end{align}$$
Recherche d'un vecteur propre pour chaque valeur propre On cherche \(a\) propre pour \(-1\) $$\begin{align}&\begin{cases} x+y=0\\ y+z=0\\ (-x-y=0)\end{cases}\iff\begin{cases} y=-x\\ z=-y\end{cases}\end{align}$$ on prend \(\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\)
On cherche \(b\) propre pour \(i\) $$\begin{cases}-ix+y=0\\ -iy+z=0\\ -x-y-(1+i)z=0\end{cases}\iff\begin{cases} y=ix\\ z=iy=-x\\ (-x-ix+(1+i)x=0)\end{cases}$$ on prend \(\begin{pmatrix}1\\ i\\ -1\end{pmatrix}\)
On cherche \(c\) propre pour \(-1\) $$\begin{cases} ix+y=0\\ iy+z=0\\ -x-y-(1-i)z=0\end{cases}\iff\begin{cases} y=-ix\\ z=-x\\ (-x+ix+(1-i)x=0)\end{cases}$$ on prend \(\begin{pmatrix}1\\ -i\\ -1\end{pmatrix}\)
Calculer \(P^{-1}\) avec la méthode de Cramer (la méthode de la matrice augmentée est très difficile à faire avec des nombres complexes) \(P=\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&i&-i\\ 1&-1&-1\end{pmatrix}\) est telle que \(\Delta=P^{-1}MP=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&i&0\\ 0&0&-i\end{pmatrix}\)
On utilise la méthode de Cramer pour trouver \(P^{-1}\) : $$\begin{align}\operatorname{det} P&=\begin{vmatrix}1&1&1\\ -1&i&-i\\ 1&-1&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&0\\ -1&1+i&1-i\\ 1&-2&-2\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}1+i&1-i\\ -2&-2\end{vmatrix}\\ &=-2-2i+2-2i\\ &=-4i\end{align}$$$\(\begin{align}\operatorname{Comat}P&=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}1&-i\\ -1&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}-1&-i\\ 1&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}-1&i\\ 1&-1\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}1&1\\ -1&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\ 1&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&1\\ -1&i\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}1&1\\ i&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&1\\ -1&-i\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\ -1&i\end{vmatrix}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-2i&-1-i&1-i\\ 0&-2&2\\ -2i&-1+i&1+i\end{pmatrix}\end{align}\)$$\(P^{-1}=\frac1{\operatorname{det} P}\,^\text t\operatorname{Comat}(P)=\frac14\begin{pmatrix}2&0&2\\ 1-i&-2i&-1-i\\ 1+i&2i&-1+i\end{pmatrix}\)$
Calcul de la puissance $$\begin{align} M^n=P\Delta^nP^{-1}&=\frac14\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&i&-i\\ 1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(-1)^n&0&0\\ 0&i^n&0\\ 0&0&(-i)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&2\\ 1-i&-2i&-1-i\\ 1+i&2i&-1+i\end{pmatrix}\\ &=\frac14\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&i&-i\\ 1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2(-1)^n&0&2(-1)^n\\ i^n-i^{n+1}&-2i^{n+1}&-i^n-i^{n+1}\\ (-i)^n+(-i)^{n+1}&-2(-i)^{n+1}&-(-i)^n-(-i)^{n+1}\end{pmatrix}\\ &=\frac14\begin{pmatrix}2(-1)^n+i^n-i^{n+1}+(-i)^n+(-i)^{n+1}&-2(i^{n+1}+(-i)^{n+1}&2(i1)^n-i^n-i^{n+1}-(-i)^n-(-i)^{n+1}\\ 2(-1)^{n+1}+i^{n+1}-i^{n+2}+(-i)^{n+1}+(-i)^{n+2}&-2(i^{n+2}+(-i)^{n+2})&2(-1)^{n+1}-i^{n+1}-i^{n+2}\\ 2(-1)^n-i^n+i^{n+1}-(-i)^n+(-i)^{n+1}&2(i^{n+1}+(-i)^{n+1})&2(-1)^n+i^n+i^{n+1}+(-i)^{n}+(-i)^{n+1}\end{pmatrix}\end{align}$$
Période de la matrice On voit que \(M^{n+4}=M^n\)
Premières puissances $$\begin{align} M&=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ -1&-1&-1\end{pmatrix}\\ M^2&=\begin{pmatrix}0&0&1\\ -1&-1&-1\\ 1&0&0\end{pmatrix}\\ M^3&=\begin{pmatrix}-1&-1&-1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}\\ M^4&=\operatorname{Id}\end{align}$$
Premières valeurs de \(v_n\)
On a donc : $$\begin{align} v_0&=v_4=v_8=\ldots=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\\ v_1&=v_5=v_9=\ldots=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ -3\end{pmatrix}\\ v_2&=v_6=v_{10}=\ldots=\begin{pmatrix}0\\ -3\\ 1\end{pmatrix}\\ v_3&=v_7=v_{11}=\ldots=\begin{pmatrix}-3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\end{align}$$
(Puissance d’une matrice carrée , Diagonalisation - Matrice diagonalisable , Règle de Cramer - Méthode de Cramer , Produit matriciel )